Что боковая сторона трапеции. Трапеция

Поэтому одну из них мы назовем большим , вторую - малым основанием трапеции. Высотой трапеции можно назвать любой отрезок перпендикуляра, проведенного из вершин на соответственно противоположную сторону (для каждой вершины есть две противоположные стороны), заключенный между взятыми вершиной и противоположной стороной. Но можно выделить "особый вид" высот.
Определение 8. Высотой основания трапеции называют отрезок прямой, перпендикулярной основаниям, заключенный между основаниями.
Теорема 7 . Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство. Пусть дана трапеция АВСD и средняя линия КМ. Через точки В и М проведем прямую. Продолжим сторону AD через точку D до пересечения с ВМ. Треугольники ВСм и МРD равны по стороне и двум углам (СМ=МD, ∠ ВСМ=∠ МDР - накрестлежащие, ∠ ВМС=∠ DМР - вертикальные), поэтому ВМ=МР или точка М - середина ВР. КМ является средней линией в треугольнике АВР. По свойству средней линии треугольника КМ параллельна АР и в частности АD и равна половине АР:

Теорема 8 . Диагонали делят трапецию на четыре части, две из которых, прилежащие к боковым сторонам, равовелики.
Напомню, что фигуры называются равновеликими, если у них одинаковая площадь. Треугольники АВD и АСD равновелики: у них равные высоты (обозначенные желтым) и общее основание. Эти треугольники имеют общую часть АОD. Их площадь можно разложить так:

Виды трапеций:
Определение 9. (рис 1) Остроугольной трапецией называется трапеция, у которой углы, прилегающие к большему основанию острые.
Определение 10. (рис 2) Тупоугольной трапецией называется трапеция, у которой один из углов, прилегающих к большему основанию тупой.
Определение 11. (рис 4) Прямоугольной называется трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.
Определение 12. (рис 3) Равнобедренной (равнобокой, равнобочной) называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойства равнобокой трапеции:
Теорема 10 . Углы, прилежащие к каждому из оснований равнобокой трапеции, равны.
Доказательство. Докажем, например, равенство углов А и D при большем основании AD равнобокой трапеции АВСD. Для этой цели проведем через точку С прямую параллельную боковой стороне АВ. Она пересечет большое основание в точке М. Четырехугольник АВСМ являеся параллелограммом, т.к. по построению имеет две пары параллельных сторон. Следовательно, отрезок СМ секущей прямой, заключенный внутри трапеции равен её боковой стороне: СМ=АВ. Отсюда ясно, что СМ=СD, треугольник СМD - равнобедренный, ∠ СМD=∠ СDM, и, значит, ∠ А=∠ D. Углы, прилежащие к меньшему основанию, также равны, т.к. являются для найденных внутренними односторонним и имеют в сумме два прямых.
Теорема 11 . Диагонали равнобокой трапеции равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники АВD и ACD. Она равны по двум сторонам и углу между ними (АВ=СD, AD - общая, углы А и D равны по теореме 10). Поэтому АС=BD.

Теорема 13 . Диагонали равнобедренной трапеции точкой пересечения делятся на соответственно равные отрезки. Рассмотрим треугольники АВD и ACD. Она равны по двум сторонам и углу между ними (АВ=СD, AD - общая, углы А и D равны по теореме 10). Поэтому ∠ ОАD=∠ ОDA, отсюда равны и углы ОВС и ОСВ как соответственно накрестлежащие для углов ODA и ОАD. Вспомним теорему: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный, поэтому треугольники ОВС и ОAD являются равнобедренными, значит, ОС=ОВ и ОА=OD, ч.т.д.
Равнобокая трапеция фигура симметричная.
Определение 13. Осью сисмметрии равнобокой трапеции называют прямую, проходящую через середины её оснований.
Теорема 14 . Ось сисмметрии равнобокой трапеции перпендикулярна её основаниям.
В теореме 9 мы доказали, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей. Далее (теорема 13) мы доказали, что треугольники АОD и ВОС равнобедренные. ОМ и ОК являются медианами этих треугольников соответственно по определению . Вспомним свойство равнобедренного треугольника : медиана равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является и высотой треугольника. Вследвствие перпендикулярности основаниям частей прямой КМ, ось симметрии перпендикулярна основаниям.
Признаки, выделяющие равнобокую трапецию среди всех трапеций:
Теорема 15 . Если углы, прилежищие к одному из оснований трапеции, равны, то трапеция равнобокая.
Теорема 16 . Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобокая.
Теорема 17 . Если продолженные до пересечения боковые стороны трапеции образуют вместе и её большим основанием равнобедренный треугольник, то трапеция равнобокая.
Теорема 18 . Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобокая.
Признак прямоугольной трапеции:
Теорема 19 . Всякий четырехугольник, у которого только два угла при смежных вершинах прямые, является прямоугольной трапецией (очевидно, что две стороны параллельны, т.к. односторонние равны. в случае, когда три прямых угла это прямоугольник)
Теорема 20 . Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты основания.
Доказательство этой теоремы заключается в объяснении того, что радиусы проведенные к основаниям лежат на высоте трапеции. Из точки О - центра вписанной в данную трапецию АВСD окружности проведем радиусы в точки касания её основаниями трапеции. Как известно, ридиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касатыльной, поэтому ОК^ ВС и ОМ^ AD. Вспомним теорему: если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Значит, прямая ОК также перпендикулярна AD. Таким образом, через точку О проходит две прямых перпендикулярных прямой AD, чего быть не может, поэтому эти прямые совпадают и составляют общуй перпендикуляр КМ, который равен сумме двух радиусов и является диаметром вписанной окружности, поэтому r=KM/2 или r=h/2.
Теорема 21 . Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты оснований.

Доказательство: Пусть ABCD - данная трапеция, а AB и CD - её основания. Пусть также AH - высота, опущенная из точки A на прямую CD. Тогда S ABCD = S ACD + S ABC .
Но S ACD = 1/2AH·CD, а S ABC = 1/2AH·AB.
Следовательно, S ABCD = 1/2AH·(AB + CD).
Что и требовалось доказать.

Вторая формула перешла от четырехугольника.

Связанные определения

Элементы трапеции

Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
Две другие стороны называются боковыми сторонами .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция

Равнобедренная трапеция

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной .
Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Общие свойства

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований.
В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.
Около равнобедренной трапеции можно описать окружность .
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность

Площадь

Эти формулы - одинаковы, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции.

Определение

Трапеция - это четырехугольник $A B C D$, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны (рис. 1).

Параллельные стороны трапеции ($B C$ и $A D$) называются основаниями трапеции , а не параллельные ($A B$ и $C D$) - боковыми сторонами . Перпендикуляр ($B H$), проведенный из любой точки одного основание к другому основанию или его продолжению называется высотой трапеции.

Свойство трапеции

Сумма углов прилежащих, прилежащих к боковой стороне равна $180^{\circ}$:

$\angle A+\angle B=180^{\circ}, \angle C+\angle D=180^{\circ}$ (рис 1)

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

$$M N=\frac{A D+B C}{2}$$

Среди всех трапеций можно выбрать два особых класса трапеций: прямоугольные и равнобокие трапеции.

Определение

Прямоугольной называется трапеция, у которой один из углов прямой.

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойства равнобокой трапеции

В равнобокой трапеции углы при основании попарно равны $\angle A=\angle D, \angle B=\angle C$.
Диагонали равнобокой трапеции равны $A C=B D$.

Признаки равнобокой трапеции

Если углы при основании трапеции равны, то трапеция равнобокая.
Если в трапеции диагонали равны, то она равнобокая.

Площадь трапеции:

$$S=\frac{a+b}{2} \cdot h$$

где $a$ и $b$ - основания трапеции, а $h$ - ее высота.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Высота равнобокой трапеции, проведенная из тупого угла, делит основание на отрезки длиной 5 см и 11 см. Найти периметр трапеции, если её высота равна 12 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 3)

$ABCD$ - равнобокая трапеция, $BH$ - высота, $BH = 12$ см, $AH = 5$ см, $HD = 11$ см.

Рассмотрим $\Delta A B H$, он прямоугольный ($\angle H=90^{\circ}$). По теореме Пифагора

$$A B=\sqrt{B H^{2}+A H^{2}}$$

подставляя исходные данные, получим

$A B=\sqrt{12^{2}+5^{2}}$

$A B=\sqrt{144+25}=\sqrt{169} \Rightarrow A B=13$ (см)

Так как трапеция $A B C D$ равнобокая, то её боковые стороны равны: $A B=C D=13$ см. Большее основание трапеции равно: $A D=A H+H D$, $A D=5+11=16$ (см). Меньшее основание трапеции будет равно: $B C=A D-2 A H, B C=16-2 \cdot 5=6$ (см). Периметр трапеции равен:

$P_{A B C D}=A B+B C+C D+A D$

$P_{A B C D}=13+6+13+16$

$P_{A B C D}=48$ (см)

Ответ. $P_{A B C D}=48$ см

Пример

Задание. В прямоугольной трапеции две меньшие стороны равны 2 дм, а один из углов $45^{\circ}$. Найти площадь трапеции.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 4)

$K L M N$ - прямоугольная трапеция, $K L=L M=2$ дм, $L K \perp K N$, $\angle M L K=45^{\circ}$. Из вершины $M$ опустим высоту $MP$ на основание $KN$. Рассмотрим $\Delta M N P$, он прямоугольный ($\angle M P N=90^{\circ}$). Так как $\angle M L K=45^{\circ}$, то

$\angle N M P=180^{\circ}-\angle M P N-\angle M L K$

$\angle N M P=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$

Таким образом, $\angle M L K=\angle N M P$ и $\Delta M N P$ еще и равнобедренный. Следовательно, $M P=P N$. Так как $L K=M P=2$ дм, следовательно и $P N=2$ дм. Большее основание $K N=K P+P N$, так как $L M=K P$, получим $K N=2+2=4$ (дм).

Площадь трапеции вычислим по формуле:

$$S=\frac{a+b}{2} \cdot h$$

В нашем случае она примет вид:

$$S_{K L M N}=\frac{L M+K N}{2} \cdot M P$$

Подставляя известные значения, получим

$S_{K L M N}=\frac{2+4}{2} \cdot 2=6$ (дм 2)

Ответ. $S_{K L M N}=6$ дм 2

- (греч. trapezion). 1) в геометрии четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две нет. 2) фигура, приспособленная для гимнастических упражнений. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТРАПЕЦИЯ… … Словарь иностранных слов русского языка

Трапеция - Трапеция. ТРАПЕЦИЯ (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

трапеция - четырехугольник, снаряд, перекладина Словарь русских синонимов. трапеция сущ., кол во синонимов: 3 перекладина (21) … Словарь синонимов

ТРАПЕЦИЯ - (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту … Современная энциклопедия

ТРАПЕЦИЯ - (от греч. trapezion букв. столик), четырехугольник, в котором две противоположные стороны, называемые основаниями трапеции, параллельны (на рисунке АD и ВС), а другие две непараллельны. Расстояние между основаниями называют высотой трапеции (на… … Большой Энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ - ТРАПЕЦИЯ, четырехугольная плоская фигура, в которой две противоположные стороны параллельны. Площадь трапеции равна полусумме параллельных сторон, умноженной на длину перпендикуляра между ними … Научно-технический энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ - ТРАПЕЦИЯ, трапеции, жен. (от греч. trapeza стол). 1. Четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами (мат.). 2. Гимнастический снаряд, состоящий из перекладины, подвешенной на двух веревках (спорт.). Акробатические… … Толковый словарь Ушакова

ТРАПЕЦИЯ - ТРАПЕЦИЯ, и, жен. 1. Четырёхугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами. Основания трапеции (её параллельные стороны). 2. Цирковой или гимнастический снаряд перекладина, подвешенная на двух тросах. Толковый словарь Ожегова. С … Толковый словарь Ожегова

ТРАПЕЦИЯ - жен., геом. четвероугольник с неравными сторонами, из коих две опостенны (паралельны). Трапецоид, подобный четвероугольник, у которого все стороны идут врознь. Трапецоэдр, тело, ограненное трапециями. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

ТРАПЕЦИЯ - (Trapeze), США, 1956, 105 мин. Мелодрама. Начинающий акробат Тино Орсини поступает в цирковую труппу, где работает Майк Риббл, известный в прошлом воздушный гимнаст. Когда то Майк выступал вместе с отцом Тино. Молодой Орсини хочет, чтобы Майк… … Энциклопедия кино

Трапеция - четырехугольник, две стороны которого параллельны, а дведругие стороны не параллельны. Расстояние между параллельными сторонаминаз. высотою Т. Если параллельные стороны и высота содержат а, b и hметров, то площадь Т. содержит квадратных метров … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

Книги

Комплект таблиц. Геометрия. 8 класс. 15 таблиц + методика , . Таблицы отпечатаны на плотном полиграфическом картоне размером 680 х 980 мм. В комплект входит брошюра с методическими рекомендациями для учителя. Учебный альбом из 15 листов. Многоугольники.… Купить за 3828 руб
Комплект таблиц. Математика. Многоугольники (7 таблиц) , . Учебный альбом из 7 листов. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. Четырехугольники. Параллелограмм и трапеция. Признаки и свойства параллелограмма. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Площадь…

Четырехугольник, снаряд, перекладина Словарь русских синонимов. трапеция сущ., кол во синонимов: 3 перекладина (21) … Словарь синонимов

- (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту … Современная энциклопедия

- (от греч. trapezion букв. столик), четырехугольник, в котором две противоположные стороны, называемые основаниями трапеции, параллельны (на рисунке АD и ВС), а другие две непараллельны. Расстояние между основаниями называют высотой трапеции (на… … Большой Энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ, четырехугольная плоская фигура, в которой две противоположные стороны параллельны. Площадь трапеции равна полусумме параллельных сторон, умноженной на длину перпендикуляра между ними … Научно-технический энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ, трапеции, жен. (от греч. trapeza стол). 1. Четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами (мат.). 2. Гимнастический снаряд, состоящий из перекладины, подвешенной на двух веревках (спорт.). Акробатические… … Толковый словарь Ушакова

ТРАПЕЦИЯ, и, жен. 1. Четырёхугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами. Основания трапеции (её параллельные стороны). 2. Цирковой или гимнастический снаряд перекладина, подвешенная на двух тросах. Толковый словарь Ожегова. С … Толковый словарь Ожегова

Жен., геом. четвероугольник с неравными сторонами, из коих две опостенны (паралельны). Трапецоид, подобный четвероугольник, у которого все стороны идут врознь. Трапецоэдр, тело, ограненное трапециями. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

- (Trapeze), США, 1956, 105 мин. Мелодрама. Начинающий акробат Тино Орсини поступает в цирковую труппу, где работает Майк Риббл, известный в прошлом воздушный гимнаст. Когда то Майк выступал вместе с отцом Тино. Молодой Орсини хочет, чтобы Майк… … Энциклопедия кино

Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а дведругие стороны не параллельны. Расстояние между параллельными сторонаминаз. высотою Т. Если параллельные стороны и высота содержат а, b и hметров, то площадь Т. содержит квадратных метров … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

Книги

Комплект таблиц. Геометрия. 8 класс. 15 таблиц + методика , . Таблицы отпечатаны на плотном полиграфическом картоне размером 680 х 980 мм. В комплект входит брошюра с методическими рекомендациями для учителя. Учебный альбом из 15 листов. Многоугольники.…
Комплект таблиц. Математика. Многоугольники (7 таблиц) , . Учебный альбом из 7 листов. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. Четырехугольники. Параллелограмм и трапеция. Признаки и свойства параллелограмма. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Площадь…